Thời gian làm bài: 120 phút

Chú ý:

Đề thi gồm 5 câu hỏi, mỗi câu có 20 điểm.
Học sinh phải làm đủ 4 câu, được chọn 1 trong 2 câu cuối cùng làm thêm.
Không được sử dụng bất kỳ công cụ tính toán nào.
Viết đầy đủ các bước giải thích.

Câu 1 (20 điểm):

Tính đạo hàm của hàm số $y = x^2 + 3x + 5$ tại điểm $x = 2$.

Xem Chi Tiết Bài Viết Tại: đề thi thử môn toán 2023

Giải:

Tham Khảo Thêm Tại: Thử sức với đề thi toán 2023 - Cách luyện tập hiệu quả từ người có kinh nghiệm 10 năm

Áp dụng công thức: $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Xem Thêm Tại: Đề thi thử môn toán năm 2023

Với $f(x) = x^2 + 3x + 5$, ta có: $f'(x) = (x^2 + 3x + 5)' = 2x + 3$

Xem Thêm Tại: ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN NĂM 2023

Áp dụng vào công thức ta có:

$f'(2) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 + 3(2+h) + 5 - (2^2 + 3(2) + 5)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h^2 + 7h + 9}{h} = \lim\limits_{h \to 0} h + 7 = 7$

Vậy đạo hàm của hàm số $y = x^2 + 3x + 5$ tại điểm $x = 2$ là $f'(2) = 7$.

Câu 2 (20 điểm):

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = \sqrt{2}a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Giải:

Đặt $M$ là trung điểm $AB$. Ta có $SA \perp MB$ và $SA = \sqrt{2}a$ nên tam giác $SMA$ vuông tại $M$. Vậy $AM = \frac{1}{2}\sqrt{2}a = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Ta có $SA \perp CD$ nên tam giác $SMA$ cũng vuông tại $A$. Vậy $SA^2 = SM^2 + AM^2$. Thay $SM = \frac{1}{2}a$ và $AM = \frac{a}{\sqrt{2}}$ ta được:

$SA^2 = \left(\frac{1}{2}a\right)^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{4}a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3}{4}a^2$.

Suy ra $SA = \frac{\sqrt{3}a}{2}$.

Vậy diện tích đáy của khối chóp $S.ABCD$ là $S_{ABCD} = a^2$ và thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}S_{ABCD} \cdot SA = \frac{1}{3}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}a^3$.

Câu 3 (20 điểm):

Cho hàm số $f(x) = \frac{x}{x^2 - 3x + 2}$.

a) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số $f(x)$.

b) Vẽ đồ thị hàm số trên khoảng $x \in [-1, 5]$.

Giải:

a) Để hàm số $f(x)$ có giá trị thì mẫu số phải khác 0, ta có:

$x^2 - 3x + 2 \neq 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-1) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2$ hoặc $x \neq 1$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$.

Để tìm tập giá trị, ta xét $f(x) = y \Leftrightarrow y(x^2 - 3x + 2) = x$.

Tiếp tục giải phương trình này ta được $x = \frac{y}{y-1}$ hoặc $x = \frac{y}{y-2}$.

Vậy tập giá trị của hàm số là $R_f = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}, 1, 2\right\}$.

b) Để vẽ đồ thị hàm số trên khoảng $x \in [-1, 5]$, ta xét các điểm $x = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Ta có bảng số liệu:

$x$	-1	0	1	2	3	4	5
$f(x)$	$\frac{1}{2}$	0	1	$\infty$	$-\frac{3}{2}$	$-2$	$-\frac{5}{2}$

Với đồ thị hàm số, ta có:

Điểm $(1, 0)$ thuộc đồ thị hàm số vì $f(1) = 0$.
Điểm $(2, \infty)$ là đường dọc đi qua $x = 2$.
Điểm $(-1, \frac{1}{2})$ và $(5, -\frac{5}{2})$ thuộc đồ thị hàm số vì $f(-1) = \frac{1}{2}$ và $f(5) = -\frac{5}{2}$.
Điểm $(0, 0)$, $(3, -\frac{3}{2})$ và $(4, -2)$ được xác định bởi các giá trị $f(0)$, $f(3)$ và $f(4)$.
Điểm $(1, 1)$ là giao điểm của đường thẳng $y = x$ với đồ thị hàm số.
Đường cong nối các điểm đã xác định sẽ cho đồ thị hàm số trên khoảng $x \in [-1, 5]$.

Vậy đồ thị hàm số sẽ có dạng như sau:

Câu 4 (20 điểm):

Giải phương trình $x^2 + 3x - 2 = 0$.

Giải:

Ta có phương trình $x^2 + 3x - 2 = 0$ tương đương với $(x + 2)(x - 1) = 0$.

Vậy phương trình sẽ có hai nghiệm là $x = -2$ hoặc $x = 1$.

Câu 5 (20 điểm):

Cho hàm số $f(x) = x^3 - x^2 + 2x + 1$.

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2, 3]$.

b) Tìm số thực $a$ sao cho đồ thị hàm số cắt đường thẳng $y = a$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $OA \perp OB$ với $O(0, 0)$ là gốc toạ độ.

Giải:

a) Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f'(x) = 3x^2 - 2x + 2$.

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2, 3]$, ta xét các điểm cực trị của hàm số.

Điểm cực đại của hàm số sẽ là nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[-2, 3]$, ta có:

$f'(x) = 3x^2 - 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{6}$

Vậy điểm cực đại của hàm số không thuộc đoạn $[-2, 3]$.

Điểm cực tiểu của hàm số sẽ là nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ và nó nằm trên đoạn $[-2, 3]$, ta có:

$f'(-2) = 3 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 2 = 16 > 0$

$f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3 + 2 = 23 > 0$

Vậy điểm cực tiểu của hàm số sẽ nằm trên đoạn $[-2, 3]$.

Áp dụng định lý Rolle, ta có $f'(-2) = f'(3) = 0$ nên trên đoạn $[-2, 3]$ hàm số chỉ có 1 điểm cực tiểu duy nhất là $x = -1$.

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, ta cần so sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực đại và cực tiểu với giá trị của hàm số tại các đầu mút đoạn.

Giá trị của hàm số tại các điểm cực đại và cực tiểu là:

$f(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 + 2 \cdot (-2) + 1 = -3$

$f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 1 = 1$

$f(3) = 3^3 - 3^2 + 2 \cdot 3 + 1 = 19$

Giá trị của hàm số tại các đầu mút đoạn là:

$f(-2) = -3$

$f(3) = 19$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2, 3]$ là $19$ và giá trị nhỏ nhất là $-3$.

b) Điểm $A$ và $B$ là nghiệm của phương trình $y = f(x)$ và $y = a$ tại hai điểm cắt của đồ thị hàm số và đường thẳng $y = a$.

Vì $OA \perp OB$ nên $A(0, f(0))$ và $B(0, f(0))$ là hai điểm cắt của đường th

là Ngân hàng đề thi EMO – người bạn đồng hành đáng tin cậy trên con đường chinh phục tri thức và đạt thành tích cao trong các kỳ thi quốc tế. Với mục tiêu cung cấp nguồn tài liệu phong phú và chất lượng, chúng tôi hợp tác với các giáo viên và chuyên gia uy tín để xây dựng kho đề thi đa dạng và chi tiết. Tất cả những bộ đề thi đều bám sát cấu trúc đề thi thật, giúp các bạn dễ dàng tiếp cận và ôn luyện hiệu quả. Chúng tôi mong muốn sẽ là người đồng hành đáng tin cậy và hỗ trợ các bạn trên con đường đạt được ước mơ. Cảm ơn các bạn đã tin tưởng và đồng hành cùng Ngân hàng đề thi EMO.

#đề_thi_thử_môn_toán_2023, #đềthithửmôntoán2023, #Ngan_Hang_Đe_Thi_EMO, #NgânHàngĐềThiEMO, #Ngân_Hàng_Đề_Thi_EMO